Matemática 2026

UP e associadas
40 questões
120 minutos
38 soluções

Universidade Pedagógica de MaputoUniversidade PúnguèUniversidade LicungoUniversidade Rovuma

Comissão de Exames de Admissão

EXAME DE MATEMÁTICA - 2026

A prova tem a duração de 120 minutos e contempla 40 questões;
Confira o seu código de candidatura;
Para cada questão assinale apenas a alternativa correcta;
Não é permitido o uso de qualquer dispositivo electrónico (máquina de calcular, telemóveis, etc.).

Qual é a expressão equivalente a $(p\land q)\lor(\sim p\land q)$ ?

p

q

\sim p

\sim q

Um telefone celular custava 20.000,00 mts em janeiro. Em abril, seu preço foi reajustado em 10%. Em junho, o preço foi novamente reajustado em 10%. Numa promoção, em novembro, Rogério finalmente comprou, com um desconto de 20%, o celular. Qual é o valor que ele pagou pelo aparelho?

A.18.960,00 mts

B.20.000,00 mts

C.19.360,00 mts

D.20.052,00 mts

Qual é o valor de $\log_{0{,}04}125-\log_8\sqrt{32}$ ?

-\dfrac{2}{3}

\dfrac{3}{2}

-\dfrac{3}{2}

\dfrac{2}{3}

Qual é a simplificação da fracção $\dfrac{4a^2-x^2}{x^3-8a^3}$ ?

\dfrac{2a+x}{x^2-2ax+4a^2}

\dfrac{2a-x}{x^2-2ax+4a^2}

\dfrac{2a+x}{x^2+2ax+4a^2}

\dfrac{2a-x}{x^2+2ax+4a^2}

Qual é o valor de $a+b$ sendo $a,\,b\in\mathbb{R}$ , por forma que os seguintes polinómios em $x$ sejam idênticos $(a-b)x^2+(a+b)x+1$ e $(2a-b)x^2+(2a+3)x+1$ ?

a+b=0

a+b=-3

a+b=3

a+b\notin\mathbb{R}

Qual é o produto das raízes da equação $\sqrt{3x+1}-\sqrt{2x-1}=1$ ?

A.6

B.5

C.4

D.2

O gráfico de uma parábola de equação $y=ax^2+bx+c$ passa pelos pontos $P(0,-4)$ , $P(2,-1)$ e $P(-2,5)$ . Qual é o valor do produto $a\cdot b\cdot c$ ?

A.6

B.7

C.8

D.9

Qual é o valor de $m$ na equação $mx+(2-m)y+m+1=0$ de modo que a recta representada seja perpendicular a $2x-y=0$ ?

\dfrac{2}{3}

\dfrac{3}{2}

-\dfrac{2}{3}

-\dfrac{3}{2}

Considere a função $f(x)=2+\ln\left(\dfrac{1+x}{1-x}\right)$ . Qual é o valor de $2+m$ de modo que $f(1-m)=2$ ?

A.1

B.2

C.3

D.4

10.

Seja a função $f(x)=\ln\left|\dfrac{1+x}{1-x}\right|$ . Qual é o valor de $x$ de modo que $f(x)\geq0$ ?

]1,+\infty[

[0,1[

]-1,0]

]-\infty,-1[

11.

Considerando a relação $\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)=\sqrt{\dfrac{1+\cos(x)}{2}}$ e a identidade fundamental da trigonometria, qual é o valor de $\operatorname{sen}\left(\dfrac{\pi}{12}\right)$ ?

\dfrac{\sqrt{3+\sqrt{2}}}{2}

\dfrac{\sqrt{3-\sqrt{2}}}{2}

\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}

\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}

12.

Ao decolar, um avião deixa o solo com um ângulo constante de 15°. A 3,8 km da cabeceira da pista existe uma montanha íngreme. A figura abaixo ilustra a decolagem, fora de escala. Qual é a altura que o avião ultrapassa a montanha, a partir da sua base?

3{,}8\tan(15^\circ)

3{,}8\cos(15^\circ)

3{,}8\operatorname{sen}(15^\circ)

3{,}8\sec(15^\circ)

13.

Qual é a quantidade de números $x\in\mathbb{Z}$ que satisfazem à inequação $|3x-2|+2x-3<0$ ?

A.2

B.3

C.0

D.1

14.

Qual é o resto da divisão do polinómio $p(x)=3x^3-x^2-52$ pelo binómio $x-3$ ?

A.0

B.10

C.20

D.30

15.

Qual é o resultado da soma da solução da equação $5^{x+1}-5^{x-1}=90$ com 6?

A.3

B.6

C.12

D.24

16.

Numa turma de aulas de violão, 5 alunos têm 6 anos, 2 têm 7 anos, 6 têm 8, 4 têm 9 e 3 têm 10, qual é a idade média da turma?

A.8,0

B.8,1

C.7,8

D.7,9

17.

Suponha que $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ seja uma função ímpar (isto é, $f(-x)=-f(x)$ ), qual dos gráficos abaixo representa uma função ímpar?

18.

Qual dos gráficos abaixo representa a função $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tal que $f(x)=|x^2-4x|+2$ ?

19.

Qual é o valor da expressão $\dfrac{6!-5!}{6!}$ ?

\dfrac{5}{6}

\dfrac{6}{7}

\dfrac{7}{6}

\dfrac{6}{5}

20.

Qual é a soma das soluções da equação $x!=72\cdot(x-2)!$ ?

A.5

B.7

C.1

D.9

21.

Com os indivíduos João, António, Filipe, José e Maria, quantas comissões de três pessoas se podem formar?

A.4

B.10

C.2

D.6

22.

Várias pessoas encontraram-se numa festa, tendo cada uma delas cumprimentado cada uma das outras com um aperto de mão. Alguém teve a paciência de contar que terá havido exatamente 36 apertos de mãos. Quantas pessoas estavam na festa?

A.6

B.8

C.9

D.10

23.

Sabendo que o conjunto de números 2, 3, 1, 2, 3, 4, 2, 3, 4, $x$ , tem a mediana igual a 2,5. Qual é o valor de $x$ ?

A.1

B.2

C.3

D.4

24.

No desenho abaixo, a recta $y=ax$ $(a>0)$ e a recta que passa por $B$ e $C$ são perpendiculares, interceptando-se em $A$ . Supondo que $B$ é o ponto $(2,0)$ . Quais são as coordenadas do ponto $C$ em função de $a$ ?

C\left(0,-\dfrac{2}{a}\right)

C\left(0,-\dfrac{a}{2}\right)

C\left(0,\dfrac{a}{2}\right)

C\left(0,\dfrac{2}{a}\right)

25.

Qual é o domínio de existência da função $f(x)=\dfrac{x-\sqrt{x-3}}{\sqrt[5]{8-x}}$ ?

x\in]3,+\infty[

x\in]-\infty,8[

x\in\mathbb{R}

x\in]3;8]

26.

Sejam $f(x)=x-2$ e $g(x)=x^2-4x$ funções reais. Qual é a quantidade de números $x\in\mathbb{Z}$ que satisfazem à inequação $g[f(x)]<0$ ?

A.2

B.3

C.4

D.5

27.

Considere a seguinte sucessão $\dfrac{7}{4},\ \dfrac{9}{7},\ \dfrac{11}{10},\ 1,\ \dfrac{15}{16},\ldots$ Qual é o termo de ordem 20?

\dfrac{45}{61}

\dfrac{40}{60}

\dfrac{50}{65}

\dfrac{42}{56}

28.

Numa P. A. o 7.º termo é 17 e o 25.º termo é $-12$ . Qual é a razão?

-\dfrac{18}{29}

\dfrac{29}{18}

-\dfrac{29}{18}

\dfrac{18}{29}

29.

Seja $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}=(a_1,a_2,a_3,\cdots)$ uma progressão aritmética de razão $r$ e seja $(S_1,S_2,S_3,\cdots)$ a sequência definida por $S_n=a_1+a_2+a_3+\cdots$ , isto é, o seu $n$ -ésimo termo é a soma dos $n$ primeiros termos da sequência $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ . Sabendo que 168, 220 e 279 são termos consecutivos da sequência $(S_n)_{n\in\mathbb{N}}$ . Qual é a razão da progressão aritmética $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ ?

A.59

B.8

C.52

D.7

30.

Uma indústria despeja numa lagoa, de forma indevida, água contaminada por um poluente a uma certa taxa. Dependendo da vazão da lagoa e da concentração do poluente, é possível verificar que a quantidade total desse contaminante na lagoa num tempo $t$ , denotada por $Q(t)$ , é dada por $Q(t)=20+2\operatorname{sen}(t)-4\cos(t)$ , em que $t$ representa o tempo medido em anos e $Q(t)$ é medido em quilos. Qual é o gráfico que melhor representa a função $Q(t)$ , ou seja, a quantidade total do poluente na lagoa num tempo $t$ ?

31.

Qual a derivada da função $f(x)=\sqrt{x}\cdot\ln\left(\sqrt{x}\right)$ ?

f'(x)=\dfrac{1+\ln\left(\sqrt{x}\right)}{2\sqrt{x}}

f'(x)=\dfrac{\sqrt{x}+\ln\left(\sqrt{x}\right)}{2\sqrt{x}}

f'(x)=\dfrac{1+\ln\left(\sqrt{x}\right)}{\sqrt{x}}

f'(x)=\dfrac{\sqrt{x}+\ln\left(\sqrt{x}\right)}{2}

32.

Sendo $f(x)=\dfrac{2x-3}{3x+2}$ uma função de $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ . Qual é a sua função inversa?

f^{-1}(x)=\dfrac{3-2x}{2-3x}

f^{-1}(x)=\dfrac{3-2x}{2+3x}

f^{-1}(x)=\dfrac{3+2x}{2-3x}

f^{-1}(x)=\dfrac{3+2x}{2+3x}

33.

Qual é o valor de $\lim_{x\to2}\left[\left(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{2}\right)\left(\dfrac{1}{x-2}\right)\right]$ ?

-4

-\dfrac{1}{4}

0

\infty

34.

Qual é o valor de $\lim_{x\to+\infty}\left(\dfrac{2x-1}{2x+3}\right)^{(x-2)}$ ?

A.2

B.0

\infty

-2

35.

Qual é o valor de $\lim_{x\to0}\dfrac{\operatorname{sen}(3x)}{5x}$ ?

\dfrac{3}{5}

0

\infty

\dfrac{5}{3}

36.

Considere a função $f(x)=\begin{cases}3-x & \text{se } x\leq1\\ \dfrac{x}{2}+1 & \text{se } x>1\end{cases}$ . Qual é a afirmação correcta? $f(x)$ é…

A.contínua em

x=1

B.descontínua da 1ª espécie em

x=1

C.descontínua eliminável em

x=1

D.descontínua da 2ª espécie em

x=1

37.

Quais são os pontos críticos de $f(x)=\dfrac{x^2}{x^2-4}$ ?

x=0

x=1

x=2

x=3

38.

Em que intervalo a função $f(x)=\dfrac{x^2}{x^2-4}$ é decrescente?

[0,+\infty[

]-\infty,+\infty[

]-\infty,2[\,\cup\,]2,0[

]-\infty,0[

39.

Um indivíduo dispõe de 20 metros de arame com os quais quer vedar um pequeno parque de forma rectangular num terreno que tem à sua disposição. Qual é a área máxima?

A_{\max}=15\ \text{m}^2

A_{\max}=25\ \text{m}^2

A_{\max}=20\ \text{m}^2

A_{\max}=30\ \text{m}^2

40.

Considere a função $f(x)=x^3-6x^2+8x$ . Qual é o intervalo do gráfico em que a concavidade está virada para cima?

x\in]-\infty,2[

x\in]2,4[

x\in]0,2[

x\in]2,+\infty[

Respostas

Matemática 2026 · UP e associadas · admitela.com

1B
2C
3—
4—
5C
6B
7D
8A
9C
10—
11D
12A
13D
14C
15—
16D
17—
18A
19A
20D
21B
22C
23—
24D
25—
26B
27A
28C
29D
30A
31A
32C
33B
34—
35A
36B
37A
38A
39B
40D

As soluções passo a passo de cada questão estão em admitela.com/exames/up/matematica-2026/

Solução da questão 1

Resposta

q

Resolução

Põe-se

q

em evidência:

(p\land q)\lor(\sim p\land q)\equiv(p\lor\sim p)\land q

p\lor\sim p

é sempre verdadeira (tautologia), logo a expressão equivale a

q

Resposta: B

Erro comum. Pensar que $p$ e $\sim p$ se anulam e dão falso, quando $p\lor\sim p$ é sempre verdadeiro.

Solução da questão 2

Resposta

C.19.360,00 mts

Resolução

Os dois aumentos de 10% multiplicam o preço por

1{,}1\cdot1{,}1=1{,}21

20\,000\times1{,}21=24\,200

mts.

O desconto de 20% multiplica por

0{,}8

24\,200\times0{,}8=19\,360

mts.

Resposta: C

Erro comum. Somar as percentagens (+10% +10% −20% = 0) e concluir que o preço não mudou.

Solução da questão 3

Resposta

Nenhuma alternativa serve

A expressão impressa vale $-\dfrac{7}{3}$ , que nenhuma alternativa traz; com $+$ entre os logaritmos daria $-\dfrac{2}{3}$ (A).

Porquê

0{,}04=5^{-2}

125=5^3

, logo

\log_{0{,}04}125=\dfrac{3}{-2}=-\dfrac{3}{2}

8=2^3

\sqrt{32}=2^{5/2}

, logo

\log_8\sqrt{32}=\dfrac{5/2}{3}=\dfrac{5}{6}

-\dfrac{3}{2}-\dfrac{5}{6}=-\dfrac{14}{6}=-\dfrac{7}{3}

, que não está entre as alternativas.

Solução da questão 5

Resposta

a+b=3

Resolução

Polinómios idênticos têm os coeficientes iguais, termo a termo.

x^2

a-b=2a-b\Rightarrow a=0

. Em

x

a+b=2a+3\Rightarrow b=3

a+b=0+3=3

Resposta: C

Erro comum. Resolver só a igualdade dos termos em $x$ , $a+b=2a+3$ , sem achar primeiro $a=0$ .

Solução da questão 6

Resposta

B.5

Resolução

\sqrt{3x+1}=1+\sqrt{2x-1}

; ao quadrado:

3x+1=1+2\sqrt{2x-1}+2x-1

, ou seja,

x+1=2\sqrt{2x-1}

De novo ao quadrado:

x^2+2x+1=8x-4\Rightarrow x^2-6x+5=0

, com raízes

x=1

x=5

As duas verificam a equação (

2-1=1

4-3=1

); o produto é

1\cdot5=5

Resposta: B

Erro comum. Elevar ao quadrado sem isolar uma das raízes, o que deixa um produto de raízes difícil de tratar.

Solução da questão 7

Resposta

D.9

Resolução

P(0,-4)

dá

c=-4

P(2,-1)

4a+2b-4=-1\Rightarrow4a+2b=3

P(-2,5)

4a-2b-4=5\Rightarrow4a-2b=9

Somando:

8a=12\Rightarrow a=\dfrac{3}{2}

b=-\dfrac{3}{2}

;

a\cdot b\cdot c=\dfrac{3}{2}\cdot\left(-\dfrac{3}{2}\right)\cdot(-4)=9

Resposta: D

Erro comum. Esquecer o $c=-4$ ao substituir os outros dois pontos.

Solução da questão 8

Resposta

\dfrac{2}{3}

Resolução

As rectas são perpendiculares quando os vectores normais o são:

(m,\,2-m)\cdot(2,\,-1)=0

2m-(2-m)=0\Rightarrow3m=2\Rightarrow m=\dfrac{2}{3}

Resposta: A

Erro comum. Usar a condição de paralelismo (declives iguais) em vez de $m_1\cdot m_2=-1$ .

Solução da questão 9

Resposta

C.3

Resolução

f(1-m)=2\Rightarrow\ln\left(\dfrac{1+(1-m)}{1-(1-m)}\right)=0\Rightarrow\dfrac{2-m}{m}=1

2-m=m\Rightarrow m=1

, logo

2+m=3

Resposta: C

Erro comum. Responder com o valor de $m$ (1) em vez de $2+m$ .

Solução da questão 10

Resposta

Nenhuma alternativa serve

Por causa do módulo, $f(x)\geq0$ em $[0,1[\,\cup\,]1,+\infty[$ , e tanto A como B servem; sem o módulo, a resposta seria só B.

Porquê

f(x)\geq0\iff\left|\dfrac{1+x}{1-x}\right|\geq1

, com

x\neq\pm1

|1+x|\geq|1-x|\iff(1+x)^2\geq(1-x)^2\iff4x\geq0\iff x\geq0

Com o módulo, a solução é

[0,1[\,\cup\,]1,+\infty[

: A e B são ambas parte dela e nenhuma alternativa dá o conjunto todo.

Solução da questão 11

Resposta

\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}

Resolução

Com

x=\dfrac{\pi}{6}

\cos\dfrac{\pi}{12}=\sqrt{\dfrac{1+\frac{\sqrt3}{2}}{2}}=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt3}}{2}

Pela identidade fundamental:

\operatorname{sen}^2\dfrac{\pi}{12}=1-\dfrac{2+\sqrt3}{4}=\dfrac{2-\sqrt3}{4}

Como

\dfrac{\pi}{12}

está no 1.º quadrante,

\operatorname{sen}\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\sqrt{2-\sqrt3}}{2}

Resposta: D

Erro comum. Parar no cosseno e escolher C, que é o valor de $\cos\dfrac{\pi}{12}$ .

Solução da questão 12

Resposta

3{,}8\tan(15^\circ)

Resolução

Na vertical da montanha forma-se um triângulo rectângulo: o cateto adjacente ao ângulo de 15° mede 3,8 km e a altura

h

é o cateto oposto.

\tan15^\circ=\dfrac{h}{3{,}8}\Rightarrow h=3{,}8\tan(15^\circ)

km.

Resposta: A

Erro comum. Usar o seno, que só serviria se 3,8 km fosse a distância percorrida pelo avião (a hipotenusa).

Solução da questão 13

Resposta

D.1

Resolução

O símbolo do conjunto não se lê no PDF; como se pede uma quantidade, toma-se

x\in\mathbb{Z}

x\geq\dfrac{2}{3}

3x-2+2x-3<0\Rightarrow x<1

. Se

x<\dfrac{2}{3}

-3x+2+2x-3<0\Rightarrow x>-1

A solução é

]-1,1[

, que só contém o inteiro

0

: um número.

Resposta: D

Erro comum. Resolver só o caso $3x-2\geq0$ e perder o intervalo $\left]-1,\frac{2}{3}\right[$ .

Solução da questão 14

Resposta

C.20

Resolução

Pelo teorema do resto, o resto da divisão por

x-3

p(3)

p(3)=3\cdot27-9-52=81-61=20

Resposta: C

Erro comum. Calcular $p(-3)$ em vez de $p(3)$ .

Solução da questão 15

Resposta

Nenhuma alternativa serve

A equação dá $5^{x-1}=\dfrac{15}{4}$ , ou seja $x\approx1{,}82$ e $x+6\approx7{,}82$ , que não está entre as alternativas.

Porquê

5^{x+1}-5^{x-1}=5^{x-1}(25-1)=24\cdot5^{x-1}=90\Rightarrow5^{x-1}=\dfrac{15}{4}

x=1+\log_5\dfrac{15}{4}\approx1{,}82

, e

x+6\approx7{,}82

Nenhuma das alternativas (3, 6, 12, 24) dá este valor.

Solução da questão 16

Resposta

D.7,9

Resolução

Soma das idades:

5\cdot6+2\cdot7+6\cdot8+4\cdot9+3\cdot10=30+14+48+36+30=158

Número de alunos:

5+2+6+4+3=20

; média

=\dfrac{158}{20}=7{,}9

anos.

Resposta: D

Erro comum. Fazer a média das idades de 6 a 10 sem pesar o número de alunos, o que dá 8.

Solução da questão 17

Resposta

Nenhuma alternativa serve

Os gráficos B ( $y=x^3$ ) e C ( $y=\operatorname{sen}x$ ) representam ambos funções ímpares.

Porquê

Uma função ímpar tem o gráfico simétrico em relação à origem.

A (

y=x^2

) é simétrico em relação ao eixo

y

(função par) e D (

y=e^x

) não tem simetria.

B (

y=x^3

, que passa por

(-1,-1)

(0,0)

(1,1)

) e C (

y=\operatorname{sen}x

) são ambos simétricos em relação à origem: há duas alternativas certas.

Solução da questão 18

Resposta

Resolução

f(x)=|x^2-4x|+2\geq2

para todo o

x

: B e C, abaixo do eixo

x

, ficam de fora.

x^2-4x=0

x=0

x=4

, onde

f=2

(os bicos); em

x=2

f(2)=|4-8|+2=6

É o gráfico A; D tem os bicos em

x=-4

x=0

, que é o gráfico de

|x^2+4x|+2

Resposta: A

Erro comum. Escolher D, que é o mesmo desenho reflectido no eixo $y$ .

Solução da questão 19

Resposta

\dfrac{5}{6}

Resolução

\dfrac{6!-5!}{6!}=1-\dfrac{5!}{6!}=1-\dfrac{1}{6}=\dfrac{5}{6}

Resposta: A

Erro comum. Simplificar como se $6!-5!=1!$ .

Solução da questão 20

Resposta

D.9

Resolução

x!=x(x-1)(x-2)!

, logo

x(x-1)=72

x^2-x-72=0\Rightarrow x=9

x=-8

; o factorial só existe para naturais, por isso fica só

x=9

A soma das soluções é 9.

Resposta: D

Erro comum. Somar as duas raízes da equação do 2.º grau, $9+(-8)=1$ , sem rejeitar $x=-8$ .

Solução da questão 21

Resposta

B.10

Resolução

Numa comissão a ordem não importa: são combinações de 5 pessoas 3 a 3.

C_5^3=\dfrac{5!}{3!\,2!}=10

Resposta: B

Erro comum. Usar arranjos ( $A_5^3=60$ ), como se a ordem contasse.

Solução da questão 22

Resposta

C.9

Resolução

Cada aperto de mão junta 2 pessoas: com

n

pessoas há

C_n^2=\dfrac{n(n-1)}{2}

apertos.

\dfrac{n(n-1)}{2}=36\Rightarrow n^2-n-72=0\Rightarrow n=9

Resposta: C

Erro comum. Fazer $n(n-1)=36$ , contando cada aperto duas vezes.

Solução da questão 23

Resposta

Nenhuma alternativa serve

Qualquer $x\leq2$ dá mediana 2,5, por isso servem tanto A ( $x=1$ ) como B ( $x=2$ ).

Porquê

Sem

x

, os nove números ordenados são

1,2,2,2,3,3,3,4,4

; com

x

são dez, e a mediana é a média do 5.º e do 6.º.

x\leq2

, o 5.º é 2 e o 6.º é 3: mediana

2{,}5

. Se

x\geq3

, ambos são 3: mediana 3.

Servem

x=1

x=2

: há duas alternativas certas (A e B).

Solução da questão 24

Resposta

C\left(0,\dfrac{2}{a}\right)

Resolução

A recta

y=ax

tem declive

a

; a perpendicular tem declive

-\dfrac{1}{a}

Passa por

B(2,0)

y=-\dfrac{1}{a}(x-2)

x=0

y=\dfrac{2}{a}

, logo

C\left(0,\dfrac{2}{a}\right)

Resposta: D

Erro comum. Trocar o sinal da ordenada; na figura $C$ está acima de $O$ , por isso a ordenada é positiva.

Solução da questão 25

Resposta

Nenhuma alternativa serve

O domínio é $[3,8[\,\cup\,]8,+\infty[$ ; nenhuma alternativa o dá (A e D deixam de fora o 3 e incluem o 8).

Porquê

O radicando de

\sqrt{x-3}

tem de ser

\geq0

x\geq3

A raiz de índice 5 (ímpar) existe para todo o

x

; só o denominador não pode ser zero:

x\neq8

O domínio é

[3,8[\,\cup\,]8,+\infty[

, e nenhuma alternativa coincide com ele.

Solução da questão 26

Resposta

B.3

Resolução

g[f(x)]=(x-2)^2-4(x-2)=(x-2)(x-6)

(x-2)(x-6)<0\iff2<x<6

Os inteiros nesse intervalo são 3, 4 e 5 (os mesmos com

\mathbb{N}

): três números.

Resposta: B

Erro comum. Calcular $f[g(x)]=x^2-4x-2$ em vez de $g[f(x)]$ .

Solução da questão 27

Resposta

\dfrac{45}{61}

Resolução

Escrevendo

1=\dfrac{13}{13}

: os numeradores

7,9,11,13,15

crescem 2 e os denominadores

4,7,10,13,16

crescem 3.

Termo geral:

a_n=\dfrac{2n+5}{3n+1}

a_{20}=\dfrac{2\cdot20+5}{3\cdot20+1}=\dfrac{45}{61}

Resposta: A

Erro comum. Não reconhecer o $1$ como $\dfrac{13}{13}$ e perder o padrão.

Solução da questão 28

Resposta

-\dfrac{29}{18}

Resolução

a_{25}-a_7=(25-7)r=18r

-12-17=18r\Rightarrow r=-\dfrac{29}{18}

Resposta: C

Erro comum. Fazer $17-(-12)$ e perder o sinal negativo da razão.

Solução da questão 29

Resposta

D.7

Resolução

Dois termos consecutivos de

(S_n)

diferem de um termo da P.A.:

a_{k+1}=220-168=52

a_{k+2}=279-220=59

r=59-52=7

Resposta: D

Erro comum. Tomar 52 ou 59 como razão; são termos da P.A., não a razão.

Solução da questão 30

Resposta

Resolução

Q(0)=20+0-4=16

: só A e B começam em 16.

2\operatorname{sen}t-4\cos t

oscila entre

-\sqrt{20}

\sqrt{20}\approx4{,}5

, com período

2\pi

Q

oscila entre cerca de 15,5 e 24,5, sem tendência a descer.

É o gráfico A; B desce ao longo do tempo, o que

Q

não faz.

Resposta: A

Erro comum. Tomar $Q(0)=20$ , esquecendo que $\cos0=1$ , e escolher C ou D.

Solução da questão 31

Resposta

f'(x)=\dfrac{1+\ln\left(\sqrt{x}\right)}{2\sqrt{x}}

Resolução

Regra do produto:

f'(x)=(\sqrt{x})'\ln\sqrt{x}+\sqrt{x}\,(\ln\sqrt{x})'

(\sqrt{x})'=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}

(\ln\sqrt{x})'=\dfrac{1}{\sqrt{x}}\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{x}}=\dfrac{1}{2x}

f'(x)=\dfrac{\ln\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}+\dfrac{\sqrt{x}}{2x}=\dfrac{1+\ln\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}

Resposta: A

Erro comum. Derivar $\ln\sqrt{x}$ como $\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ , esquecendo a derivada de $\sqrt{x}$ .

Solução da questão 32

Resposta

f^{-1}(x)=\dfrac{3+2x}{2-3x}

Resolução

Faz-se

y=\dfrac{2x-3}{3x+2}

e resolve-se em ordem a

x

3xy+2y=2x-3

x(3y-2)=-3-2y\Rightarrow x=\dfrac{3+2y}{2-3y}

Trocando as letras:

f^{-1}(x)=\dfrac{3+2x}{2-3x}

Resposta: C

Erro comum. Errar um sinal ao passar os termos de um membro para o outro e obter A.

Solução da questão 33

Resposta

-\dfrac{1}{4}

Resolução

\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{2-x}{2x}=-\dfrac{x-2}{2x}

Multiplicando por

\dfrac{1}{x-2}

, cancela-se

x-2

e fica

-\dfrac{1}{2x}

\lim_{x\to2}\left(-\dfrac{1}{2x}\right)=-\dfrac{1}{4}

Resposta: B

Erro comum. Ver a forma $0\cdot\infty$ e responder 0 sem simplificar.

Solução da questão 35

Resposta

\dfrac{3}{5}

Resolução

\dfrac{\operatorname{sen}(3x)}{5x}=\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{\operatorname{sen}(3x)}{3x}

Como

\lim_{u\to0}\dfrac{\operatorname{sen}u}{u}=1

, o limite é

\dfrac{3}{5}

Resposta: A

Erro comum. Inverter a fracção e responder $\dfrac{5}{3}$ .

Solução da questão 36

Resposta

B.descontínua da 1ª espécie em

x=1

Resolução

f(1)=3-1=2

\lim_{x\to1^-}f(x)=2

\lim_{x\to1^+}f(x)=\dfrac{1}{2}+1=\dfrac{3}{2}

Os limites laterais existem, são finitos e diferentes: é uma descontinuidade de 1.ª espécie (salto).

Resposta: B

Erro comum. Chamar eliminável a um salto; só é eliminável quando os dois limites laterais são iguais.

Solução da questão 37

Resposta

x=0

Resolução

f'(x)=\dfrac{2x(x^2-4)-x^2\cdot2x}{(x^2-4)^2}=\dfrac{-8x}{(x^2-4)^2}

f'(x)=0\iff x=0

;

x=\pm2

não pertencem ao domínio.

Resposta: A

Erro comum. Tomar $x=2$ , onde o denominador se anula, como ponto crítico; não pertence ao domínio.

Solução da questão 38

Resposta

[0,+\infty[

Resolução

f'(x)=\dfrac{-8x}{(x^2-4)^2}

; o denominador é positivo, logo

f'(x)<0

para

x>0

Tirando

x=2

, que não pertence ao domínio,

f

é decrescente em

[0,2[

e em

]2,+\infty[

A única alternativa com os

x

positivos é A,

[0,+\infty[

Resposta: A

Erro comum. Escolher D: para $x<0$ a derivada é positiva e $f$ é crescente.

Solução da questão 39

Resposta

A_{\max}=25\ \text{m}^2

Resolução

Lados

x

y

com

2x+2y=20

, logo

y=10-x

A(x)=x(10-x)=10x-x^2

A'(x)=10-2x=0\Rightarrow x=5

y=5

: o rectângulo de área máxima é um quadrado.

A_{\max}=5\cdot5=25\ \text{m}^2

Resposta: B

Erro comum. Tomar 20 m como semiperímetro e obter lados de 10 m.

Solução da questão 40

Resposta

x\in]2,+\infty[

Resolução

f'(x)=3x^2-12x+8

f''(x)=6x-12

A concavidade está virada para cima onde

f''(x)>0

6x-12>0\iff x>2

Resposta: D

Erro comum. Usar o sinal de $f'$ (monotonia) em vez do sinal de $f''$ .